Consigne: Dans une base orthonormée, la matrice \(A\) de la forme quadratique \(Q\) s'écrit comme ceci : $$A=\begin{pmatrix}-1&&&&&&&&&\varnothing\\ &\ddots\\ &&-1\\ &&&&1\\ &&&&&\ddots\\ &&&&&&1\\ &&&&&&&0\\ &&&&&&&&\ddots\\ \varnothing&&&&&&&&&0\end{pmatrix}\begin{align}&\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} p\\ \\ &\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} s\\ \\ &\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} n-(p+s)\end{align}$$
Montrer que la somme \(r=p+s\) qui est le nombre de vecteurs non isotrope dans la base orthonormée ne dépend pas du choix de la base

Fixer deux bases et la matrice de \(Q\) dans ces bases
Si on fixe deux telles bases \(\varepsilon=\{e_1,\ldots,e_n\}\) et \(\varepsilon^\prime=\{e_1^\prime,\ldots,e_n^\prime\}\), \(Q\) a la matrice \(A\) dans \(\varepsilon\) et la matrice \(A^\prime\) dans \(\varepsilon^\prime\)

Le déterminant des matrices de passages est non nul. On restreint \(A\) pour que son déterminant soit non nul
On sait que \(A^\prime=P^TAP\), avec \(\operatorname{det} P\ne0\)
Si \(n\gt p+s\), on a \(\operatorname{det} A=0\)
On prend donc \(B=A\lvert_{\operatorname{Vect}\{e_1,\ldots,e_{p+s}\} }\)
Alors \(\operatorname{det} B\ne0\)

Même décomposition pour \(B\) \(\to\) \(\operatorname{det} B\ne0\)
De même pour \(B\) : on a \(B^\prime=P^{T\prime}BP^\prime\) avec \(P^\prime=P\lvert_{\operatorname{Vect}\{\{e_1,\ldots,e_{p+s}\}}\)
Donc $$\operatorname{det} B^\prime=(\operatorname{det} P^\prime)^2\operatorname{det} B$$
Donc \(\operatorname{det} B^\prime\ne0\) puisque \(\operatorname{det} B\ne0\)

Donc le rang est à la fois supérieur et inférieur à \(p+s\) \(\to\) il est égal pour \(B\) et \(B^\prime\)

On a donc \(\operatorname{Rg}(B^\prime)\geqslant p+s\), et, de la même manière, \(\operatorname{Rg}(B^\prime)\leqslant\operatorname{Rg}(B)=p+s\)
D'où $$p+s=\operatorname{Rg} B=\operatorname{Rg} B^\prime$$

Consigne: Dans une base orthonormée, la matrice \(A\) de la forme quadratique \(Q\) s'écrit comme ceci : $$A=\begin{pmatrix}-1&&&&&&&&&\varnothing\\ &\ddots\\ &&-1\\ &&&&1\\ &&&&&\ddots\\ &&&&&&1\\ &&&&&&&0\\ &&&&&&&&\ddots\\ \varnothing&&&&&&&&&0\end{pmatrix}\begin{align}&\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} p\\ \\ &\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} s\\ \\ &\left.\begin{array}{l}\\ \\ \\ \end{array}\right\} n-(p+s)\end{align}$$
Montrer que les nombres \(p,s\) ne dépendent pas du choix d'une base orthonormée

Principe de la démonstration
Le but est de montrer que $$\begin{align} p&=\max\{\operatorname{dim} U\mid\forall u\in U_*,Q(U)\lt 0\quad\text{ avec }\quad U\text{ s.e.v}\}\\ s&=\max\{\operatorname{dim} U\mid\forall u\in U_*,Q(U)\gt 0\quad\text{ avec }\quad U\text{ s.e.v}\}\end{align}$$
Où \(p,s\) sont les nombres de vecteurs négatifs et positifs pour une base orthonormée fixée
(avec \(U_*=U\setminus\{0\}\))

Fixer la base
On pose la base $$\{\underbrace{e_1,\ldots,e_p}_{Q(e_i)\lt 0},\underbrace{e_{p+1},\ldots,e_{p+s}}_{Q(e_i)\gt 0},\underbrace{e_{p+s+1},\ldots,e_n}_{Q(e_i)=0}\}$$
D'après la propriété précédente, la somme \(p+s\) ne dépend pas du choix de la base orthonormée

Poser les sous-espaces des vecteurs négatifs et non négatifs. Leur intersection est nulle \(\to\) dimension de leur somme
Soit \(U\subseteq E\) un sous-espace négatif (i.e. \(\forall u\in U_*,Q(u)\lt 0\))
On pose \(W=\operatorname{Vect}\{e_{p+1},\ldots,e_{p+s},\dots,e_n\}\) l'espace des vecteurs non négatifs
Alors $$U\cap W=\{0\}\quad\text{ et }\quad\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} U+n-p$$

En déduire la dimension du sous-espace négatif
Donc $$\operatorname{dim} U=\operatorname{dim}(U+W)-(n+p)\lt n-(n-p)=p$$ donc pour tout sous-espace négatif \(U\), on a \(\operatorname{dim} U\leqslant p\)

Montrer que cela est même valable pour des bases non orthonormées en prenant une combinaison linéaires de la base orthonormée
Soit \(V=\operatorname{Vect}\{e_1,\ldots,e_p\}\)
Pour tout \(v=\sum^p_{i=1}\lambda_ie_i\in V\), $$Q(v)=\sigma(v,v)=\sum^p_{i=1}\lambda^2_iQ(e_i)\lt 0$$ donc \(V\) est négatif et \(\operatorname{dim} V=p\)

Conclusion (idem pour \(s\))

On a démontré que $$p=\max\{\operatorname{dim} U\mid\forall u\in U_*,Q(U)\lt 0\quad\text{ avec }\quad U\text{ s.e.v}\}$$ (idem pour \(s\))